Matěj Doležálek

Tato práce se zabývá jedním z klasických témat z teorie čísel – kvadratickými formami, tedy výrazy několika proměnných jako např. x²+y² nebo 3x²+xy-2yz+xz Standardní otázkou je, jakých hodnot může takový výraz nabývat, pokud za proměnné x,y,z apod. dosazujeme pouze celá čísla, případně kolika takovými dosazeními lze dosáhnout jedné dané hodnoty. V této práci jsou tyto otázky zodpovězeny pro několik kvadratických forem čtyř proměnných. K tomu je užito kvaternionů – čtyřrozměrných „čísel“, která zobecňují komplexní čísla, jež jsou sama zobecněním obyčejných reálných čísel.

Kvaterniony mají mnohé zajímavé vlastnosti, např. jejich násobení není komutativní, tedy záměna pořadí činitelů může obecně změnit hodnotu součinu. Zavedením vhodné báze lze zkoumané kvadratické formy vyjádřit jako tzv. normy – zjednodušeně „velikosti“ – kvaternionů. To umožňuje vyvodit některé vlastnosti kvadratických forem z vlastností „prvočísel“ a dělitelnosti mezi kvaterniony, např. zdali lze ve zkoumaném oboru sestavit funkční obdobu známého Eukleidova algoritmu pro stanovení největšího společného dělitele dvou prvků.

Hlavními výsledky práce jsou důkazy vzorců pro počet vyjádření daného kladného celého čísla n deseti vybranými kvadratickými formami, dále pak důkazy toho, že i třemi dalšími formami lze vyjádřit libovolné kladné celé číslo. Např. je dokázáno, že počet vyjádření daného kladného celého čísla n kvadratickou formou

(x²+xy+y² )+(yz-xw)+2(z²+zw+w² )

je roven přesně čtyřnásobku součtu všech těch dělitelů čísla n které nejsou sami násobky pěti.

Podobně je dokázáno, že kvadratickou formou

(x²+2y² )+(yz-xw)+2(z²+2w²)

lze vyjádřit libovolné kladné celé číslo n.